Question

如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当PA+PB的值最小时，求点P的坐标；

(3)抛物线上是否存在一点Q(Q与B不重合)，使△CDQ的面积等于△BCD的面积？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；（2）当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）；（3）点Q的坐标为（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．

【解析】

（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；（2）先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB′的解析式，再求出与x轴的交点即可．（3）S△CDQ=S△BCD且CD是两三角形的公共底边知|yQ|=yB=3，据此得yQ=3或yQ=-3，再分别求解可得．

【解析】
（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），

∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，

把点B（0，3）代入得，a+4=3，

解得a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；

（2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），

由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P，

设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），

则，

解得，

∴直线AB′的解析式为y=7x﹣3，

令y=0，则7x﹣3=0，

解得x=，

所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）．

（3）∵S△CDQ=S△BCD，且CD是两三角形的公共底边，

∴|yQ|=yB=3，

则yQ=3或yQ=﹣3，

当yQ=3时，﹣（x﹣1）2+4=3，

解得：x=0或x=2，

则点Q（2，3）；

当yQ=﹣3时，﹣（x﹣1）2+4=﹣3，

解得：x=1﹣或x=1+，

则点Q坐标为（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；

综上，点Q的坐标为（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．