Question

发现与探索

你能求 x  1x²⁰¹⁹  x²⁰¹⁸  x²⁰¹⁷   x  1 的值吗？

遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形手．先分别计算下列各式的值：

①  x 1 x  1  x² 1 ；

②  x  1x²  x  1  x³  1 ；

③  x  1x³  x²  x  1  x⁴  1 ；



由此我们可以得到：

 x  1x²⁰¹⁹  x²⁰¹⁸  x²⁰¹⁷   x  1          ； 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：

（1）3²⁰¹⁹  3²⁰¹⁸  3²⁰¹⁷  3 1 ；

（2）2⁵⁰   2⁴⁹   2⁴⁸    2 ．

Answer

；(1) ； (2) .

【解析】

根据平方差公式可得第1个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第2、3个式子的结果；从而总结出规律是(x-1)(x2019+x2018+x2017+…+x+1)=x2020-1；

(1)式子乘以，然后根据上上面发现的结论进行计算即可；

(2)原式加1减1，除-1外其余项合在一起乘以，然后根据上上面发现的结论进行计算即可.

∵①  x 1 x  1  x2 1 ；

②  x  1x2  x  1  x3  1 ；

③  x  1x3  x2  x  1  x4  1 ；

…

∴(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)=xn+1-1，

∴ x  1x2019  x2018  x2017   x  1 ，

故答案为：x2020-1；

(1)原式= ×32019  32018  32017  …  3  1

=×(32020 1)

=；

(2)原式= 250  249  248   2  1  1

=×250  249  248   2  1]  1

=×251 11

= -.