Question

我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为___________．

Answer

2或3或

【解析】

分AM=AC、DM=DC、MD=MA三种情况考虑，当AM=AC时，由AC、AB的长度即可得出BM的长度；当DM=DC时，过点D作DE⊥AB于E，通过解直角三角形可得出BE的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出BM的长度；当MD=MA时，过点D作DE⊥AB于E，设EM=x，则AM=-x，利用勾股定理表示出DM2的值，结合MD=MA即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出BM的长度．综上即可得出结论．

当AM=AC时，如图1所示．

∵AB=4，AC=2，

∴BM=AB-AM=AB-AC=4-2=2；

当DM=DC时，过点D作DE⊥AB于E，如图2所示．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，

∴BC=，∠B=30°．

∵D是BC的中点，

∴BD=CD=DM=．

在Rt△BDE中，BD=，∠B=30°，∠BED=90°，

∴DE=BD=，BE=．

∵DB=DM，DE⊥BM，

∴BM=2BE=3；

当MD=MA时，过点D作DE⊥AB于E，如图3所示．

∵BE=，AB=4，

∴AE=．

设EM=x，则AM=-x．

在Rt△DEM中，DE=，∠DEM=90°，EM=x，

∴DM2=DE2+EM2=+x2．

∵MD=MA，

∴+x2=（-x）2，

解得：x=，

∴BM=BE+EM=+=．

综上所述：当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为2或3或．

故答案为：2或3或．