Question

已知直线y=x+2与y轴交于点A，与双曲线y=有一个交点为B（2，3），将直线AB向下平移，与x轴.y轴分别交于点C，D，与双曲线的一个交点为P，若，则点D的坐标为________．

Answer

（0，）或（0，-）或（0，）或（0，-）．

【解析】

设D的坐标为（0，m），根据平行线分线段成比例定理得出，然后根据，求得PM的值，从而求得P的坐标，代入直线解析式即可求得m的值．

当D点在y轴的正半轴时，如图1所示，

设D的坐标为（0，m），

∵将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C，D，

∴CD∥AB，

∴直线CD的解析式为y=x+m，

作PM⊥x轴于M，

∴PM∥y轴，

①P在第一象限时，，

∵，

∴，

∴PM=3OD=3m，

∵P是双曲线的一个交点，

∴P（，3m），

∴3m=×+m，

解得m=±，

∴m＞0，

∴D（0，）；

②P在第三象限时，，

∵，

∴，

∴PM=OD=m，

∵P是双曲线的一个交点，

∴P（-，-m），

∴-m=×（-）+m，

解得m=±，

∴m＞0，

∴D（0，）；

当D点在y轴的负半轴时，如图2所示，

作PM⊥x轴于M，

∴PM∥y轴，

③P在第一象限时，，

∵，

∴，

∴PM=OD=m，

∵P是双曲线的一个交点，

∴P（-，-m），

∴-m=×（-）+m，

解得m=±，

∴m＜0，

∴D（0，-）；

④P在第三象限时，，

∵，

∴，

∴PM=3OD=3m，

∵P是双曲线的一个交点，

∴P（，3m），

∴3m=×+m，

解得m=±，，

∴m＜0，

∴D（0，-）；

综上，点D的坐标为（0，）或（0，-）或（0，）或（0，-），

故答案为：（0，）或（0，-）或（0，）或（0，-）．