Question

在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．

（1）问题发现：如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，求证：AD+AB=AC；

（2）思考探究：如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，则（1）中的结论是否仍成立？请说明理由；

（3）拓展应用：如图3，若∠DAB=90°，AD=2，AB=3，求线段AC的长度.

Answer

（1）详见解析；（2）(1)中的结论成立；（3）

【解析】

（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；

（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；

（3）先证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC，进而得出AD+AB＝AC即可解决问题．

（1）AC=AD+AB．

理由如下：如图1中，

在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，

∴∠D=90°，

∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC=60°，

∵∠B=90°，

∴AB＝AC，同理AD＝AC．

∴AC=AD+AB．

（2）（1）中的结论成立，

理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，

∵∠BAC=60°，

∴△AEC为等边三角形，

∴AC=AE=CE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，

∴∠DCB=60°，

∴∠DCA=∠BCE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，

∴△DAC≌△BEC，

∴AD=BE，

∴AC=AD+AB．

（3）过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，

∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，

∴∠DCB=90°，

∵∠ACE=90°，

∴∠DCA=∠BCE，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB=45°，

∴∠E=45°．

∴AC=CE．

又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，

∴△CDA≌△CBE，

∴AD=BE，

∴AE=AD+AB，

在Rt△ACE中，∠CAB=45°，

∴AE＝，

∴AD+AB＝AC．

∴AC=．