Question

如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+与坐标轴分别交于点A、B，且点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2．

（1）求A、C两点的坐标；

（2）若点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（1，0），C（-3，0）；（2）s=2-t（0≤t＜2）；s==t-2（t＞2）；(3) Q坐标为（1，2）、（1，-2）、（1，）、（-1，0）．

【解析】

（1）由直线解析式容易求出点A的坐标，由勾股定理求出AB，再求出AC、得出OC，即可得出点C的坐标；

（2）先求出∠ABC=90°，分两种情况考虑：当M在线段BC上；当M在线段BC延长线上；表示出BM，利用三角形面积公式分别表示出S与t的函数关系式即可；

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，分两种情况，利用菱形的性质求出AQ的长，根据AQ与y轴平行得到Q与A横坐标相同，求出满足题意Q得坐标即可．

（1）对于直线y=-x+，当y=0时，-x+=0，

解得：x=1，

∴A的坐标为（1，0），

∴OA=1；

当x=0时，y=，

∴B（0，），

∴OB=；

∵∠AOB=90°，

∴AB==2，

∵AB：AC=1：2，

∴AC=4，

∴OC=3，

∴点C的坐标为（-3，0）；

（2）如图1所示：

∵OA=1，OB=，AB=2，

∴∠ABO=30°，

同理：BC=2，∠OCB=30°，

∴∠OBC=60°，

∴∠ABC=90°，

分两种情况考虑：①若M在线段BC上时，BC=2，CM=t，则BM=BC-CM=2-t，

此时S△ABM=BM•AB=×（2-t）×2=2-t（0≤t＜2）；

②若M在BC延长线上时，BC=2，CM=t，则BM=CM-BC=t-2，

此时S△ABM=BM•AB=×（t-2）×2=t-2（t＞2）；

（3）P是y轴上的点，在坐标平面内存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，

当P在y轴正半轴上，四边形ABPQ为菱形时，

①如图2所示：AQ=AB=2，且Q与A的横坐标相同，

此时Q坐标为（1，2）；

②如图3所示：AP=AQ=，Q与A的横坐标相同，

此时Q坐标为（1，）；

当P在y轴负半轴上，四边形ABPQ为菱形时，

①如图4所示：AQ=AB=2，且Q与A横坐标相同，

此时Q坐标为（1，-2）；

②如图5所示：BP垂直平分AQ，

此时Q坐标为（-1，0），

综上所述：满足题意Q坐标为（1，2）、（1，-2）、（1，）、（-1，0）．