Question

如图，在中，，为边上的中线，∥，且,连接.

（1）求证：四边形为菱形；

（2）连接，若平分，，求的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）由中线的定义和已知可得到AE=CD，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ADCE为平行四边形，由∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，得到AD=BC=CD．即可得到四边形ADCE为菱形．

（2）连接BE与AD相交于点O．由角平分线的性质和平行线的性质可得到AB=AE，由BD=BC=AE，得到AB=BD，由等腰三角形三线合一的性质得到∠BOD=90°．由AD∥CE，得到∠BEC=∠BOD=90°．在△BEC中，由勾股定理即可得出结论．

（1）∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD=BC．

∵AE=BC，∴AE=CD．

∵AE∥BC，∴四边形ADCE为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

∵∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，∴AD=BC=CD，

∴四边形ADCE为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

（2）连接BE与AD相交于点O．

∵若BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE ．

∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE．

∵BD=BC=AE，∴AB=BD，∴∠BOD=90°．

∵四边形ADCE为菱形，AE=2，∴AD=DC=CE=AE=2，BC=4．

∵AD∥CE，∴∠BEC=∠BOD=90°，∴．