Question

如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，，动点在轴的上方，且满足.

（1）若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标；

（2）连接、，求的最小值；

（3）若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标.

Answer

（1）点的坐标为；（2）的最小值；（3）点的坐标为、、、

【解析】

（1）根据已知得出点的坐标为，从而得出．设点的纵坐标为，

由，得出m的值，即可得出P的坐标．

（2）过点作直线轴．由（1）知，点的纵坐标为，从而得出点在直线上．作点关于直线的对称点，则．连接交直线于点，此时的值最小，根据勾股定理即可得出结论．

（3）画出图形，根据图形直接写出结论即可．

（1）∵四边形是矩形，，

∴点的坐标为．

∵点在反比例函数的第一象限内的图像上，

∴，

∴．

∴，

设点的纵坐标为．

∵，

∴，

∴，

∴．

当点在这个反比例函数图像上时，则，

∴，

∴点的坐标为．

（2）过点作直线轴．

由（1）知，点的纵坐标为，

∴点在直线上．

作点关于直线的对称点，则．

连接交直线于点，此时的值最小，

则的最小值．

（3）点的坐标为、、、．