Question

如图，在平行四边形中，，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度为，同时，点从点出发沿向点匀速运动，速度为，当点停止运动时，点也随之停止运动，过点做交于点，连接、.设运动的时间为.

(1)当时，求的值；

(2)是否存在某一时刻，使得的面积是平行四边形面积的？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由；

(3)过点作交于点，是否存在某一时刻，使得在线段的垂直平分线上？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)；(2)当时，使得的面积是平行四边形面积的；(3)当时，使得在线段的垂直平分线上．

【解析】

（1）只要证明四边形AQPD是平行四边形，得AQ=PD，列出方程即可解决问题．
（2）作交的延长线于,过点作于,交于,则四边形是矩形,表示出，，根据的面积是平行四边形面积的,列出方程，即可求解.
（3）存在，只要证明CN=PC，根据PC+PD=CD列出方程即可解决问题．

【解析】
(1)∵PM⊥AD，PQ⊥PM，

∴PQ//AD，

∵四边形是平行四边形

∴

∴四边形是平行四边形

∴,

∴,

∴;

(2)作交的延长线于,过点作于,交于,则四边形是矩形,

∵在中, ,,,

∴

∵在中,,,,

∴

∵在中,,,,

∴

∴，

∴

在中，,

∴,

如图,过作于

在中,

∴ ()

∴ ()

∵的面积是平行四边形面积的,

∴ ，

∴，(不符合题意,舍去)

∴存在某一时刻,当时，使得的面积是平行四边形面积的．

(3)存在,理由如下：

∵在线段的垂直平分线上

∴

∴

∵,

∴四边形是平行四边形

∴

∵，

∴

∵

∴

∴,

∴,

∴,

∴

∴当s时，使得P在线段MN的垂直平分线上．