Question

如图，过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接、，若，，则的长为（   ）

A.  B. 4 C.  D. 6

Answer

B

【解析】

求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解．

∵矩形对边AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC，

∵O是AC的中点，

∴AO=CO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE=OF，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形，

∵∠DCF=30°，

∴∠ECF=90°-30°=60°，

∴△CEF是等边三角形，

∴EF=CF，

∵AB=​，

∴CD=AB=，

∵∠DCF=30°，

∴DF=，

∴CF2=DF2+CD2，即 ,

∴CF=4，

∴EF=4．

故选B．