Question

如图，在中，、分别平分与它的邻补角，于点，于点，直线分别交、与点、.

（1）求证：四边形是矩形.

（2）试猜想与的位置和数量关系，并证明你的猜想.

Answer

（1）见解析；（2）且，证明见解析.

【解析】

（1）由AE⊥CE于E，AF⊥CF于F可得∠AEC=∠AFC=90°，再由，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，能证出∠ECF=90°，从而得证．
（2）由矩形的性质可证NE=NC，从而可得，可判定，又因为，可证是的中位线．

（1）证明：∵于点，于点.

∴.

又∵、分别平分与它的邻补角.

∴，.

∴.

∴三个角为直角的四边形为矩形；

（2）且

证明：∵四边形为矩形，∴，∴，

∴.

又∵，∴是的中位线，∴.