Question

如图，在中，，过点的直线，为边上一动点（不与，重合），过点作，交直线于点，垂足为，连接，.

（1）求证：；

（2）当移动到的什么位置时，四边形是菱形？说明你的理由；

（3）若点移动到中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由.

Answer

（l）见解析；（2）当点在的中点时，四边形是菱形.理由见解析；（3）当时，四边形是正方形，理由见解析.

【解析】

（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）当点在的中点时，四边形是菱形.求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．

（l）∵，∴，

∵，∴，∴.

∵，即，∴四边形是平行四边形，∴.

（2）当点在的中点时，四边形是菱形.

理由如下：∵为中点，∴.

∵.∴.∵，，

∴四边形是平行四边形，

∵，为中点，

∴，∴四边形为菱形；

（3）当时，四边形是正方形.

理由如下：，，

∵，∴，

∵为中点，∴，∴.

又∵四边形是菱形，

∴四边形是正方形，

即当时，四边形是正方形.