Question

已知Rt△ABC，∠BAC=90°，点D是BC中点，AD=AC，BC=2，过A，D两点作⊙O，交AB于点E

（1）求弦AD的长；

（2）如图1，当圆心O在AB上，且点M是圆O下方的半圆上的一动点，连接DM交AB于点N，求当△DEM是等腰三角形时，求ON的长；

（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP-DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

Answer

（1）AD=；（2）ON等于或-；（3）当⊙O变动时DP-DQ的值不变，DP-DQ=，见解析.

【解析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；

（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=AD=，ON=DN=；当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于AD=，∠DAE=30°，得到DH=，∠DEA=60°，DE=1，于是OE=DE=1，OH=，又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=，于是得到结论；

（3）连AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易证得△AQC≌△APD，得到DP=CQ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC为等边三角形，CD=AD=，即可得到DP-DQ的值．

【解析】
（1）∵∠BAC=90°，点D是BC中点，BC=2，

∴AD=BC=；

（2）连DE、ME，如图，∵DM＞DE，

当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，

∴OE⊥DM，

又∵AD=AC，

∴△ADC为等边三角形，

∴∠CAD=60°，

∴∠DAO=30°，

∴∠DON=60°，

在Rt△ADN中，DN=AD=，

在Rt△ODN中，ON=DN=，

∴当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；

当MD=ME，DE为底边，如图3，作DH⊥AE，

∵AD=，∠DAE=30°，

∴DH=，∠DEA=60°，DE=1，

∴△ODE为等边三角形，

∴OE=DE=1，OH=，

∵∠M=∠DAE=30°，

而MD=ME，

∴∠MDE=75°，

∴∠ADM=90°-75°=15°，

∴∠DNO=45°，

∴△NDH为等腰直角三角形，

∴NH=DH=，

∴ON=-2；

综上所述，当三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形时，ON等于或-；

（3）当⊙O变动时DP-DQ的值不变，DP-DQ=，

理由如下：连AP、AQ，如图2，

∵∠C=∠CAD=60°，

而DP⊥AB，

∴AC∥DP，

∴∠PDB=∠C=60°，

又∵∠PAQ=∠PDB，

∴∠PAQ=60°，

∴∠CAQ=∠PAD，

∵AC=AD，∠AQC=∠P，

∴△AQC≌△APD（AAS），

∴DP=CQ，

∴DP-DQ=CQ-DQ=CD=．