Question

（1）如图1，已知垂直平分，垂足为，与相交于点，连接．

求证：．

（2）如图2，在中，，为的中点．

①用直尺和圆规在边上求作点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②在①的条件下，如果，,P为MN中点,求MQ的长度.

Answer

（1）见解析；（2）①作点关于的对称点，连接交于，连接，点即为所求．理由见解析；②MQ=3 .

【解析】

（1）证明FC=FB，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
②想办法证明GQ=GN即可．

（1）证明：如图1中，

垂直平分线段，

，

，

，

．

（2）①作点关于的对称点，连接交于，连接，点即为所求．

理由：垂直平分，

，，

，

，

点即为所求．

②∵P，P′关于GN对称，
∴GN⊥PP′，PK=KP′，
∴∠PKN=90°，
∵∠N=30°，
∴∠PNK=60°，
∴PN=2KP=PP′，
∵PM=PN，
∴PM=PP′，
∵∠NPK=∠PMP′+∠P′，
∴∠PMP′=∠P′=30°，
∴∠QMN=∠N=30°，
∴MQ=NQ，
∵∠G=∠QMG=60°，
∴QG=QM，
∴MQ=QG=NQ，
∵GM=3，∠N=30°，∠NMG=90°，
∴GN=2GM=6，
∴MQ=3．