Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别角与A、B两点，P、Q分别是线段OB、AB上的两个动点，点P从O出发一每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时Q从B出发，以每秒5个单位的速度向终点A运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒。

（1）求出点Q的坐标（用t的代数式表示）

（2）若C为OA的中点，连接PQ、CQ，以PQ、CQ为邻边作PQCD.

①是否存在时间t，使得坐标轴切好将PQCD的面积分为1:5的两个部分，若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由.

②直接写出整个运动过程中PQCD对角线DQ的取值范围.

Answer

（1）；（2）①t=1或1.5；②4≤DQ≤4

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AB，再判断出△BEQ∽△BOA，得出比例式，代值求解即可得出结论；

（2）①分两种情况，利用同高的两三角形的面积的比等于底的比，求解得出结论；

②利用两点间距离公式，得出DQ2，再用函数的性质即可得出结论．

【解析】
（1）如图1，

针对于直线y＝，

令x＝0，则y＝6，

∴B（0，6），

∴OB＝6，

令y＝0，则＝0，

∴x＝8，

∴A（8，0），

∴OA＝8，

根据勾股定理得，AB＝＝10，

由运动知，BQ＝5t，

过点Q作QE⊥y轴于E，

∴QE∥AO，

∴△BEQ∽△BOA，

∴，

∴，

∴BQ＝3t，EQ＝4t，

∴OE＝OB﹣BE＝6﹣3t，

∴Q（4t，6﹣3t）；

（2）连接DQ，CP，由运动知，OP＝2t，

∴P（0，2t），

∵点C是OA的中点，

∴C（4，0），

∵四边形CQPD是平行四边形，

∴DQ与CP互相平分，

设D（m，n），

由（1）知，Q（4t，6﹣3t）；

∴4t+m＝4，6﹣3t+n＝2t，

∴m＝4﹣4t，n＝5t﹣6，

∴D（4﹣4t，5t﹣6），

①Ⅰ、当x轴将将▱PQCD的面积分为1：5的两个部分时，如图2，

∵PC是平行四边形PQCD的对角线，

∴S△PCQ＝S△PCD，

∵S△CDF：S四边形CFPQ＝1：5，

∴S△CDF：S△CPF＝1：2，

∴DF：PF＝1：2，

∴PF：DF＝2：1，

过点D作DG⊥y轴于G，

∴OG＝6﹣5t，

∴DG∥FO，

∴，

∴，

∴t＝1，【注：点D本身在y轴上，为了解决问题，没将点D放在y轴上】

Ⅱ、当x轴将将▱PQCD的面积分为1：5的两个部分时，如图3，

过点D作DN⊥x轴于N，

同Ⅰ的方法得，t＝1.5，

即：坐标轴刚好将▱PQCD的面积分为1：5的两个部分时，t＝1秒或1.5秒；

②由（1）知，Q（4t，6﹣3t），

∵D（4﹣4t，5t﹣6），

∴DQ2＝（4﹣4t﹣4t）2+（6﹣3t﹣5t+6）2＝128（t﹣1）2+32，

由运动知，0≤t≤2，

∴当t＝1时，DQ2最小＝32，

∴DQ最小＝4，

当t＝0或2时，DQ2最大＝160，

∴DQ最大＝4，

∴4≤DQ≤4．