Question

已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AB=6，BC=8，求EF的长．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）由于知道了EF垂直平分AC，因此只要证出四边形AFCE是平行四边形即可得出AFCE是菱形的结论．
（2）根据勾股定理得出AC，进而利用勾股定理解答即可．

证明：（1）∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO=CO，AC⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= ，

∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=FC，
在Rt△ABF中，设AF=FC=x，则BF=8-x
∴AB2+BF2=AF2，
∴62+（8-x）2=x2，
∴x=，

∴OF ，

∴EF=2OF=.