Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，线段AB在x轴的正半轴上移动,且AB=1，过点A、B作y轴的平行线分别交函数y₁=(x>0)与y₂=(x>0)的图像于C、E和D、F，设点A的横坐标为m (m>0).

（1）连接OC、OE，则△OCE面积为          ；

（2）连接CF，当m为何值时，四边形ABFC是矩形；

（3）连接CD、EF，判断四边形CDFE能否是平行四边形，并说明理由；

（4）如图2，经过点B和y轴上点G（0，4）作直线BG交直线AC于点H，若点H的纵坐标为正整数，请求出整数m的值.

Answer

（1）1；（2）；（3）不能；（4）m=1或3

【解析】

（1）先表示出点C，E坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；
（2）先表示出点C，F坐标，利用矩形的性质对边相等建立方程求解即可得出结论；
（3）先表示出点C，D，E，F的坐标，进而求出CE，DF，判断出CE≠DF，即可得出结论；
（4）先求出直线BG的解析式，进而表示出点H的坐标，最后用是正整数，建立方程即可得出结论．

（1）∵点A的横坐标为m，且AC∥y轴，

∴C（m， ，E（m，），

∴S△COE＝CE×OA＝（﹣）•m＝1，

故答案为：1；

（2）若四边形ABFC是矩形，则 AC＝BF，

∵AB＝1，点A的横坐标为m，

∴点B的横坐标为：m+1

∴C（m，），F（m+1，），

∴AC＝，FB＝，

∴＝，

∴m＝；

（3）不能，

理由：由题意得，C（m，），E（m，），D（m+1，，F（m+1，），

∴CE＝﹣＝，DF＝﹣＝，

∴CE≠DF，

∵CE∥DF，

∴四边形CDFE不是平行四边形；

（4）∵G（0，4），

∴设直线BG的表达式为y＝kx+4（k≠0），

将B（m+1，0）代入y＝kx+4中得k（m+1）+4＝0，

∴k＝﹣，

∴直线BG的解析式为y＝﹣x+4，

将x＝m代入y＝﹣x+4中得y＝﹣x+4＝，

∴点H（m，），

∵m＞0，

∴m+1＞1，

∵点H的纵坐标是正整数，

∴m+1＝2或m+1＝4，

∴m＝1或3．