Question

如图，在等边三角形中，，点是边上的一点，过点作交于点，过点作，交的延长线于点.

（1）求证：是等腰三角形；

（2）点满足__________时，点是线段的三等分点；并计算此时的面积.

Answer

（1）见解析；（2）是的中点，.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质以及平行线的性质得到，根据三角形的内角和求出，根据三角形外角的性质求出，得到

，即可证明.

（2）过点作，交于点,当点是的中点时，,求出高，即可求出的面积.

【解析】
证明：（1）∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴

∵

∴

∴

∵是的外角，且，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰三角形.

（2）是的中点（或）.

过点作，交于点

∵，

∴，

∴是等边三角形.

当点是的中点时，

在中，，，

∴，

∴.

∴.