Question

如图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作.

（1）当________时，；

（2）当与正方形的边相切时，求的长；

（3）设的半径为，请直接写出正方形中恰好有两个顶点在圆内的的取值范围.

Answer

（1）；（2）的长为3或；（3）.

【解析】

（1）根据相似三角形对应边成比例列出方程即可解答；

（2）⊙P与正方形ABCD的边相切时有两种情况，分别是与CD边和AD边相切，分别画出图形，用勾股定理即可解答；

（3）因为B点始终在圆内，所以正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内，是C在圆内，D点在圆上或园外，求出它们的极值即可解答

（1）∵∠B=∠C=90°，ΔMBP∼ΔDCP；

∴

设BP=x，则CP=4-x，

∵AB=CD=8，BP==4

∴

，

（2）【解析】
如图1，当与边相切时，

设，

在中，∵，

∴，

∴，

∴，.

如图2，当与边相切时，

设切点为，连接，

则，四边形是矩形.

∴，

∴，，

在中，.

综上所述，的长为3或.

（3）.

如图1，当时，经过点，点；

如图3，当经过点，点时

∵，

∴，

∴，

∴.

∴⊙P的半径为x，当，正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内