Question

探究：已知二次函数经过点.

（1）求该函数的表达式；

（2）如图所示，点是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点的横坐标为，连接，，.

①求的面积关于的函数关系式；

②求的面积的最大值，并求出此时点的坐标.

拓展：在平面直角坐标系中，点的坐标为，的坐标为，若抛物线与线段有两个不同的交点，请直接写出的取值范围.

Answer

探究：（1）；（2）① ，②的面积的最大值是，此时点的坐标为，拓展：.

【解析】

（1）由待定系数法易求解析式；

（2）过点作于点，交于点.设点的坐标为，由可得关于t的二次函数，进而可求最大值.

（3）根据抛物线与MN的位置关系可知当抛物线经过M点时，a取最大值.

探究：（1）∵抛物线经过点，

∴，解得.

∴抛物线的表达式为.

（2）①过点作于点，交于点.

设直线的解析式为，

将、代入，

，解得：，

∴直线的解析式为.

∵点在抛物线上，点在直线上，

∴点的坐标为，点的坐标为，

∴ ，

∴ .

②∵，

∴当时，，

当时，.

∴的面积的最大值是，此时点的坐标为.

[拓展]：抛物线y=ax2−2x+3(a<0),当x=1时，y=a-2+3=a+1＜3，故抛物线右边一定与MN有交点，

当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M点或下方时，抛物线左边边一定与MN有交点，

即a+5≤3；

∴；