Question

如图，在矩形ABCD中， ， ，将矩形沿直线EF折叠．使得点A恰好落在BC边上的点G处，且点E、F分别在边AB、AD上（含端点），连接CF.

（1）当 时，求AE的长；

（2）当AF取得最小值时，求折痕EF的长；

（3）连接CF，当 是以CG为底的等腰三角形时，直接写出BG的长.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据折叠得出AE=EG，据此设AE=EG=x，则有BE=6-x，由勾股定理求解可得；
（2）由FG⊥BC时FG的值最小，即此时AF能取得最小值，显然四边形AEGF是正方形，从而根据勾股定理可得答案；
（3）由△CFG是以FG为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC；②FG=GC；分别求解可得．

（1）由折叠易知，，设，则有，

由勾股定理，得，解得，即

（2）由折叠易知，，而当时，FG的值最小，即此时AF能取得最小值，

当时，FG的值最小，即此时AF能取得最小值，

当时，点E与点B重合，

此时四边形AEGF是正方形，

折痕.

（3）由△CFG是以FG为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：
①当FG=FC时，如图2，过F作FH⊥CG于H，

则有：AF=FG=FC，CH=DF=GH
设AF=FG=FC=x，则DF=10-x=CH=GH
在Rt△CFH中
∵CF2=CH2+FH2
∴x2=62+（10-x）2
解得：x=，

∴DF=CH=GH=10-，
即BG=10-×2=，
②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；
∴GH=x-（10-x）=2x-10，
在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，
化简得：3x2-40x+136=0，
∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，
∴此方程没有实数根．
综上可知：BG=．