Question

如图，在 中，，， ，四边形PDEF是矩形，， ．矩形PDEF从点B出发，沿射线BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点P出发，沿折线P-D-E以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点Q到达点E时，点Q与矩形PDEF同时停止运动，连接QC，设点Q的运动时间为t秒（ ）.

（1）求线段PC的长（用含t的代数式表示）；

（2）当点Q落在AB边上时，求t的值；

（3）设 的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（4）当四边形PDEF与 重叠部分图形为五边形时，直接写出使为直角三角形时t的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）①当时，，②当时，；（4）当 或时， 是直角三角形.

【解析】

（1）根据PC=BC-PB计算即可；
（2）当Q落在AB边上时，根据DM+PM=4，构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形①当0＜t≤4时；②当4＜t＜12时，分别求解即可解决问题；
（4）分三种情形分别讨论求解，①当点E在AB上时；②如当点Q在线段AC上时；③当 时，∠PQC=90°时.

（1）

（2）如图①中，
当Q落在AB边上时，DM+PM=4，
∵PM=t，DM=（t-4），
∴t+（t-4）=4，
解得；

（3）①当时，；

②当时，；

（4）如图①，当点E在AB上时，

，，即，

，，

当时，点Q在线段PD上，此时，

是直角三角形.

如图②，当点Q在线段AC上时， ，

此时 是直角三角形， ，

解得 .

当 时，若 ，则 ，

，

整理，得 ， ，

此种情况不存在.

综上所述，当 或时， 是直角三角形.