Question

（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？

（探究）

探究一：

（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2==3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．

（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3==6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．

（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a=线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．

探究二：

（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2==3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为×3×1=．

（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2+3==6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为______．

（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

探究三：

（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有

条线段，棱AD上有1+2==3条线段，则图中长方体的个数为××3=．

（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有1+2+3==6条线段，则图中长方体的个数为______．

（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

（拓展）

如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．

Answer

探究一：（3） ；探究二：（5）3a（a+1）；（6） ；探究三：（8） ；【结论】：① ；【应用】： 180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.

【解析】

（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；

(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．

【解析】
探究一、（3）棱AB上共有线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，

则图中长方体的个数为 ×1×1= ，

故答案为： ；

探究二：（5）棱AB上有 条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，

则图中长方体的个数为 ×6×1=3a（a+1），

故答案为3a（a+1）；

（6）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上只有1条线段，

则图中长方体的个数为 ××1=，

故答案为；

探究三：（8）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有6条线段，

则图中长方体的个数为   ××6=，

故答案为‘；

(结论)棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有条线段，

则图中长方体的个数为  ××=，

故答案为；

(应用)由(结论)知，，

∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为=180，

故答案为为180；

拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x，

由题意得

=1000，

∴[x（x+1）]3=203，

∴x（x+1）=20，

∴x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）

∴4×4×4=64

所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．