Question

已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=8cm，CD=10cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为lcm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥AD？

（2）设四边形APQD的面积为y（cm²），求y与t的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形APQO}：S_{四边形BCQP}=17：27？若存在，求出t的值，并求此时PQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当t为s时，PQ∥AD；（2）y与t的函数关系式是y=；（3）t的值为2s或s，此时PQ的长为cm，见解析.

【解析】

（1）根据平行线分线段成比例的性质解答即可；

（2）过点D作DE⊥BC于点E，过点Q作QF⊥AD交AD的延长线于F，根据矩形的性质和三角函数解答即可；

（3）过点Q作QH⊥AB于点H，根据四边形面积公式进行解答即可．

【解析】
（1）∵PQ∥AD，AD∥BC

∴，

即

解得，

答：当t为s时，PQ∥AD．

（2）过点D作DE⊥BC于点E，过点Q作QF⊥AD交AD的延长线于F

∴∠DEC=∠QFD=90°

∵AD∥BC，∠A=90°

∴∠ABC=180°-∠A=90°

∴四边形ABND是矩形

∴AB=DE，BE=AD

在Rt△DEC中，，

∵∠C=∠QDF

∴在Rt△DFQ和Rt△DEC中，

sin∠QDF=，即

∴

cos∠QDF=，即

∴

∵在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD

∴∠ABD=∠ADB=45°

∴y=S四边形APQD=S四边形APQF-S△DQF

=

=

=

答：y与t的函数关系式是y=．

（3）若S四边形APQD：S四边形BCQP=17：27，则y=S四边形ABCD

∵S四边形ABCD=

∴=34

解得t1=2，

∴t的值为2s或s．

过点Q作QH⊥AB于点H，

∴PH=

QH=AF=

∴PQ=

当t=2时，PQ=

当t=时，PQ=

∴此时PQ的长为cm．