Question

如图，在中，，，，动点，同时从点出发，分别沿射线，方向运动，且满足，过点作，交直线于点，与直线交于点.设，的面积为，则与之间的函数图象大致是（   ）

A.  B.  C.  D.

Answer

C

【解析】

先由AQ=PQ，∠ACB=90°及PM⊥AB，推出∠B=∠MPN，再结合∠PNM=∠PNB，证出△PNM∽△BNP，推出线段的比例关系，然后用tanB的值计算出相似比，从而求得当x=2时，点N与点C重合，从而解出PM、PB，进而算出△PMN的面积，从而得解．

∵AQ=PQ，

∴∠A=∠APQ，

∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，

∴∠B+∠A=90°，

∴∠APQ+∠B=90°，

又∵PM⊥AB，

∴∠MPN+∠APQ=90°，

∴∠B=∠MPN，

又∵∠PNM=∠PNB，

∴△PNM∽△BNP，

∴，

∵MN=x，△PMN的面积为y，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，

∴Rt△ACB和Rt△BPM中，tanB＝，

∴，

∴当x=2时，PN=4，BN=8，

又∵BC=8，

∴当x=2时，点N与点C重合．

∴BM=BC-MN=8-2=6，

∴在Rt△BPM中，设PM=m，则PB=2m，由勾股定理得：m2+（2m）2=62，

解得m=，2m=，

∴S△PBM=×÷2=，

∵，

∴△PMN的面积y=×＝，

∴当x=2时，y=，

由选项的图象得，只有C符合要求．

故选C．