Question

（探索发现）

如图，是等边三角形，点为边上一个动点，将绕点逆时针旋转得到，连接.小明在探索这个问题时发现四边形是菱形.

小明是这样想的：

（1）请参考小明的思路写出证明过程；

（2）直接写出线段，，之间的数量关系：______________；

（理解运用）

如图，在中，于点.将绕点逆时针旋转得到，延长与，交于点.

（3）判断四边形的形状，并说明理由；

（拓展迁移）

（4）在（3）的前提下，如图，将沿折叠得到，连接，若，，求的长.

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）四边形是正方形；（4）

【解析】

（1）根据旋转得：△ACE是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE，则四边形ABCE是菱形；

（2）先证明C、F、E在同一直线上，再证明△BAD≌△CAF（SAS），则∠ADB=∠AFC，BD=CF，可得AC=CF+CD；

（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF是正方形；

（4）证明△BAM≌△EAD（SAS），根据BM=DE及勾股定理可得结论．

（1）证明：∵是等边三角形，

∴.

∵绕点逆时针旋转得到，

∴，.

∴是等边三角形.

∴.

∴.

∴四边形是菱形.

（2）线段，，之间的数量关系：.

（3）四边形是正方形.理由如下：

∵绕点逆时针旋转得到，

∴，.

∵，

∴.

∴四边形是矩形.

∵，

∴四边形是正方形.

（4）如图，连接.

∵四边形是正方形，

∴.

∵绕点逆时针旋转得到，

∴，，∴.

∵将沿折叠得到，

∴，.

∴.

∴，即.

∵，

∴.

在和中，，

∴.

∴.