Question

阅读材料：我们知道，在四边形ABCD中，当对角线，若，时，

（1）则四边形ABCD的面积为          ；

小凯遇到一个问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，，求四边形ABCD的面积。

小凯发现，如图2分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足分别为点E，F，设AO为m，通过计算与的面积和使问题得以解决。

请回答：

（2）的面积为   （用含m的式子表示）

（3）求四边形ABCD的面积。

参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，（），则四边形ABCD的面积为         （用含a，b，的式子表示）

Answer

（1）12；（2）；（3）；解决问题：.

【解析】

(1) 设AC与BD的垂足为O，根据三角形的面积公式得到S△ABC= •AC•OC，S△ADC=•AC•OD，两式相加得到S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=•AC•OC+•AC•OD=•AC•BD，然后把AC=4，BD=6代入计算即可;

(2)首先得出AE的长，再利用三角形的面积公式求出即可；
(3)根据直角三角形的性质可得AE=m，再根据三角形的面积公式可得S△ABD=BD•AE＝m，同理再表示CF= (4−m)，然后再表示△BCD的面积，再求两个三角形的面积和可得答案；解决问题：方法类似.

(1) 设AC与BD的垂足为O，如图所示：

∴S△ABC=•AC•OB，S△ADC=•AC•OD，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=•AC•OB+•AC•OD=•AC•BD，
而AC=4，BD=6，
∴S四边形ABCD=•4•6=12．
故答案是：12．

(2)∵AO=m，∠AOB=30°，
∴AE=m，
∴△ABD的面积为：×m×6=m；
故答案为：m；

(3),

∵，,

∴,

∴,

同理：,

∴,

∴;

解决问题：分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足分别为点E，F，设,

∵，,

∴,

∴,

同理：,

∴,

∴.