Question

已知：AB为⊙O上一点，如图，，，BH与⊙O相切于点B，过点C作BH的平行线交AB于点E.

（1）求CE的长；

（2）延长CE到F，使，连结BF并延长BF交⊙O于点G，求BG的长；

（3）在（2）的条件下，连结GC并延长GC交BH于点D，求证：

Answer

(1) CE=4；（2）BG=8；（3）详见解析.

【解析】

（1）只要证明△ABC∽△CBE，可得，由此即可解决问题；
（2）连接AG,只要证明△ABG∽△FBE，可得，由BE＝＝4，再求出BF，即可解决问题；
（3）通过计算首先证明CF＝FG，推出∠FCG＝∠FGC，由CF∥BD，推出∠GCF＝∠BDG，推出∠BDG＝∠BGD即可证明．

【解析】
（1）∵BH与⊙O相切于点B，

∴AB⊥BH，

∵BH∥CE，

∴CE⊥AB，

∵AB是直径，

∴∠CEB=∠ACB=90°，

∵∠CBE=∠ABC，

∴△ABC∽△CBE，

∴=，

∵AC==4，

∴CE=4．

（2）连接AG．

∵∠FEB=∠AGB=90°，∠EBF=∠ABG，

∴△ABG∽△FBE，

∴=，

∵BE==4，

∴BF==3，

∴=，

∴BG=8．

（3）易知CF=4+=5，

∴GF=BG﹣BF=5，

∴CF=GF，

∴∠FCG=∠FGC，

∵CF∥BD，

∴∠GCF=∠BDG，

∴∠BDG=∠BGD，

∴BG=BD．