Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）.以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴交x轴于点B，连结EC，AC，点P、Q为动点，设运动时间为t秒。

（1）直接写出A点坐标，并求出该抛物线的解析式；

（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，当t为何值时，为直角三角形？

（3）在图2中，若点P在对称轴上从点B开始向点A以2个单位/秒的速度运动，过点P作，交AC于点F，过点F作于点G，交抛物线于点Q，连结AQ，CQ.当t为何值时，的面积最大？最大值是多少？

Answer

（1）A的坐标为（1，4），；（2）当或时，为直角三角形；（3）当时，的面积最大，最大值为1.

【解析】

（1）由矩形的性质可直接求得A点坐标，可设顶点式方程，把C点坐标代入可求得抛物线的解析式；
（2）根据题意表示出P，Q点坐标，再利用待定系数法求出PQ所在直线解析式，进而将D点代入求出答案；
（3）先求得直线AC的解析式，可分别用t表示出P点和Q点的坐标，从而可求得FQ的长，可用t表示出△ACQ的面积，再根据二次函数的性质可求得其最大值．

【解析】
（1）∵抛物线的对称轴，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）

∴点A的坐标为（1，4）

设抛物线的解析式为：

把C（3，0）代入抛物线解析式，可得：

解得：

故抛物线的解析式为：，即

（2）由题意得：，

∴

当时

∵

∴ 解得：

当时

∵

∴ 解得：

∴当或时，为直角三角形

（3）∵A（1，4），C（3，0）

设直线AC的解析式为：

解得：

故直线AC的解析式为：

∵P（1，），将代入得，

∴Q点的横坐标为：

将代入中，得

∴Q点的纵坐标为：

∴

∴

即

∴当时，的面积最大，最大值为1