Question

如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

Answer

（1）证明见解析；

（2）4．

【解析】

试题（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．

（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．

（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴△FOD∽△FAE，

∴，

∴，

整理得R2﹣R﹣12=0，

∴R=4或（﹣3舍弃）．

∴⊙O的半径为4．