Question

如图所示，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）求证：EG²＝GF×AF；

（3）若tan∠FEC＝，折痕AF＝5cm，则矩形ABCD的周长为　   　．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）36cm.

【解析】

（1）先依据翻折的性质和平行线的性质，证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；

（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，再证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；

（3）依据tan∠FEC=，可设CF=3x，CE=4x，进而得到EF=5x，CD=8x=AB，再依据相似三角形对应边成比例，即可得到AE=10x=AD，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理列方程求解即可得到矩形ABCD的周长．

（1）∵，

∴

∵由翻折的性质可知：，，，

∴．

∴．

∴．

∴四边形为菱形．

（2）如图，连接，交于点．

∵四边形为菱形，

∴，．

∵，，

∴．

∴，即，

∵，，

∴．

（3）∵中，,

∴可设，，则，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∴，∴，

∵中，，

∴，

解得，

∴，，

∴矩形的周长．