Question

如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点的直线交直线于点．

①当时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作直线的平行线交直线于点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；

②连接，当直线与直线的夹角等于的倍时，请直接写出点的坐标．

Answer

（1）；（2）①点的横坐标为或或；②点的坐标为或．

【解析】

（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），

AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．

（1）当时，，则，

当时，，解得，则，

把，代入

得：，解得，

∴抛物线解析式为；

（2）①解方程得，，则，

∵，，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，，

∴，，

作轴交直线于，如图1所示，则

∴，

设，则，

当点在直线上方时，

，解得，，

当点在直线下方时

，

解得，，

综上所述，点的横坐标为或或；

②作于，轴于，作的垂直平分线交于，交于，如图2，

∵，

∴，

∵，

∵为等腰直角三角形，

∴，

∴，

易得的解析式为，点坐标为，

设直线的解析式为，

把代入得，解得，

∴直线的解析式为，

解方程组，得则；

作直线上作点关于点的对称点，如图2，则，

设，

∵，∴，∴，

综上所述，点的坐标为或．