Question

如图，在中, ,将直角三角板的直角顶点与边的中点重合，直角三角板绕着点旋转，两条直角边分别交边于,则的最小值是____.

Answer

2

【解析】

当PM=PN时，MN的值最小，过P点作PD⊥AB于点D，先证明△APD∽△ABC，再得到，再代入值，求得PD＝，从而得到MN的值．

∵∠C=90°，AC=10，BC=5，
∴AB=，
∵（PM-PN）2≥0，当PM=PN时，（PM-PN）2值最小为0，
∴MN2=PM2+PN2≥2PM•PN，
当PM=PN时，PM2+PN2有最小值为2PM•PN，
∴MN为最小值时，PM=PN，
过P点作PD⊥AB于点D，如图所示，

则MN=2PD，
∵∠A=∠A，∠ADP=∠ACB=90°，
∴△APD∽△ABC，
∴，即，
∴PD=，
∴MN=2PD=2．

故答案是：2.