Question

如图，⊙是四边形的外接圆，是四边形的对角线， BD经过圆心O，点在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分

(1)求证:;

(2)若,求的度数;

(3)若，⊙半径为5，求的长.

Answer

(1)证明见解析；（2）30°；（3）6

【解析】

（1）根据角平分线的定义得到∠EDF=∠ADF，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理结论得到结论；
（2）根据圆周角定理得到AD⊥BF，推出△ACB是等边三角形，得到∠ADB=∠ACB=60°，根据等腰三角形的性质得到结论；
（3）设CD=k，BC=2k，根据勾股定理得到BD= ，求得=2，BC=AC=4，根据相似三角形的性质即可得到结论

（1）证明：∵DF平分∠ADE，
∴∠EDF=∠ADF，
∵∠EDF=∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF=∠BDC，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC；
（2）【解析】
∵BD是⊙O的直径，
∴AD⊥BF，
∵AF=AB，
∴DF=DB，
∴∠FDA=∠BDA，
∴∠ADB=∠CAB=∠ACB，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠ADB=∠ACB=60°，
∴∠ABD=90°-60°=30°，
∴∠F=∠ABD=30°；
（3）【解析】
∵，
∴，
设CD=k，BC=2k，
∴BD= ，
∴k=2，
∴CD=2，BC=AC=4，
∵∠ADF=∠BAC，
∴∠FAC=∠ADC，
∵∠ACF=∠DCA，
∴△ACF∽△DCA，
∴，
∴CF=8，
∴DF=CF-CD=6.