Question

如图，抛物线与轴交于两点，直线经过点，与抛物线的另一个交点为点，点的横坐标为3，线段在线段上移动，=1，分别过点作轴的垂线，交抛物线于,交直线于.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P，Q的坐标;

(3)在线段PQ的移动过程中，以D，E，F，G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由.

Answer

（1）y=-x2+x+2;(2)P(,0),Q(,0);(3)x=时，面积有最大值.

【解析】

（1）由点C的横坐标为3，代入直线y＝x+，可得点C的坐标为（3，2），再把点C（3，2）代入抛物线，可求得a的值，进而得出抛物线的解析式；

（2）设点P（m，0），Q（m+1，0），可得点D（m， m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F（m+1，），当四边形DEFG为平行四边形时，有ED＝FG，可列出关于m的方程，解方程求得m的值，即可得出点P、Q的坐标；

（3）设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，由（2）可得，S＝×1÷2＝（﹣m2+m+）＝，根据二次函数图象的性质即可得出以D、E、F、G为顶点的四边形面积的最大值．

（1）∵点C的横坐标为3，

∴y＝×3+＝2，

∴点C的坐标为（3，2），

把点C（3，2）代入抛物线，可得2＝9a﹣9a﹣4a，

解得：a＝-，

∴抛物线的解析式为y＝；

（2）设点P（m，0），Q（m+1，0），

由题意，点D（m，m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F（m+1，），

∵四边形DEFG为平行四边形，

∴ED＝FG，

∴，即

=，

∴m＝0.5，

∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；

（3）设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，

由（2）可得，S＝，

∴当m＝时，S最大值为，

∴以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为．