Question

在矩形中，为边上一点，.将沿翻折得到，的延长线交边于点，过点作交于点.连接，分别交，于点，.现有以下结论：①连接，则垂直平分；②四边形是菱形；③；④若，则.其中正确的结论是________（填写所有正确结论的序号）.

Answer

①②③

【解析】

①连接，根据翻折的性质，结合等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；

②DP∥AB，所以∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，所以∠PAM=∠APM，由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB，从而可知PM=MB=AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形；

③过点P作PG⊥AB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC，易证△APG∽△PBG，所以PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；

④由于，可设DP=1，AD=2，由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2，从而求出GB=PC=4，AB=AG+GB=5，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得，，从而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC，从而可得．

①根据翻折的性质可得，AD=A,∠DAP=∠AP，

连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质得，垂直平分.

②∵DP∥AB，

∴∠DPA=∠PAM，

由题意可知：∠DPA=∠APM，

∴∠PAM=∠APM，

∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，

即∠ABP=∠MPB

∴AM=PM，PM=MB，

∴PM=MB，

又易证四边形PMBN是平行四边形，

∴四边形PMBN是菱形；

③过点P作PG⊥AB于点G，

∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，

∴AD=PG，DP=AG，GB=PC

∵∠APB=90°，

∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，

∴∠APG=∠PBG，

∴△APG∽△PBG，

∴，

∴PG2=AG•GB，

即AD2=DP•PC；

④由于，

可设DP=1，AD=2，

由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2，

∵PG2=AG•GB，

∴4=1•GB，

∴GB=PC=4，

AB=AG+GB=5，

∵CP∥AB，

∴△PCF∽△BAF，

∴，

∴，

又易证：△PCE∽△MAE，AM=AB=，

∴

∴，

∴EF=AF-AE=AC-AC=AC，

∴.

故答案为：①②③.