Question

如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD交AF于H，AD=10，且tan∠EFC=，那么AH的长为（　　）

A.  B.  C. 10 D. 5

Answer

C

【解析】

根据线段中点的定义可得CE=DE，根据矩形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠CFE，然后利用“角角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=AD，再求出BF，然后利用tan∠EFC求出AB，再利用勾股定理列式求出AF，再求出△ADH和△FBH相似，根据相似三角形对应边成比例求出，再求解即可．

∵E为CD的中点，

∴CE=DE，

在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAE=∠CFE，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴CF=AD=10，

∴BF=BC+CF=AD+CF=10+10=20，

∵tan∠EFC=，

∴AB=20×=10，

在Rt△ABF中，AF==30，

∵AD∥BC，

∴△ADH∽△FBH，

∴，

∴AH=AF=×30=10．

故选C．