Question

如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上.，，，…都是等腰直角三角形，它们的面积分别记作，，，…，如果点的坐标为，那么的纵坐标为_______.

Answer

【解析】

因为每个A点为等腰直角三角形的直角顶点，则每个点A的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边一半．故先设出各点A的纵坐标，可以表示A的横坐标，代入解析式可求点A的纵坐标，规律可求．

分别过点A1，A2，A3，…向x轴作垂线，垂足为C1，C2，C3，…

∵点A1（1，1）在直线y=x+b上

∴代入求得：b=

∴y=x+

∵△OA1B1为等腰直角三角形

∴OB1=2

设点A2坐标为（a，b）

∵△B1A2B2为等腰直角三角形

∴A2C2=B1C2=b

∴a=OC2=OB1+B1C2=2+b

把A2（2+b，b）代入y=x+

解得b=

∴OB2=5

同理设点A3坐标为（a，b）

∵△B2A3B3为等腰直角三角形

∴A3C3=B2C3=b

∴a=OC3=OB2+B2C3=5+b

把A3（5+b，b）代入y=x+

解得b=

以此类推，发现每个A的纵坐标依次是前一个的倍

则A2019的纵坐标是()2019

故答案为：()2019