Question

如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：

①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；

②作直线，交于点.

请你观察图形解答下列问题：

（1）与的位置关系：

直线是线段的____________线；

（2）若，，求矩形的对角线的长.

Answer

（1）垂直平分线；（2）

【解析】

（1）利用基本作图可判断直线MN垂直平分AC；

（2）如图，连接，则，在中由勾股定理求出AD2=7，在中由勾股定理可得结论.

（1）垂直平分线

设AC与MN交于点F．连接AM、CM、AN、CN，如图，

∵在△AMN和△CMN中，

，

∴△AMN≌△CMN（SSS）． 

∴∠1=∠2．  

∵AM=CM，

∴△ACM是等腰三角形．

∴MF⊥AC，AF=CF．

即 MN⊥AC，MN平分AC．

（2）【解析】
如图，连接，

则

∴在中，

∴在中，

，

，

，

.