Question

春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．

Answer

（1）甲种商品每件的进价为30元，乙种商品每件的进价为70元；（2）该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件、乙商品购进20件，最大利润为1200元．

【解析】

（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，根据“购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元”可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价；

（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100-m）件，根据“甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍”可列出关于m的一元一次不等式，解不等式可得出m的取值范围，再设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w，根据“总利润=甲商品单个利润×数量+乙商品单个利润×数量”即可得出w关于m的一次函数关系上，根据一次函数的性质结合m的取值范围即可解决最值问题．

（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，

依题意得：，解得：，

答：甲种商品每件的进价为30元，乙种商品每件的进价为70元．

（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100-m）件，

由已知得：m≥4（100-m），

解得：m≥80．

设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w，

则w=（40-30）m+（90-70）（100-m）=-10m+2000，

∴当m=80时，w取最大值，最大利润为1200元．

故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件、乙商品购进20件，最大利润为1200元．