Question

如图，，，三点在上，直径平分，过点作交弦于点，在的延长线上取一点，使得.

（1）求证：是的切线；

（2）连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长．

Answer

（1）见解析；（2）1

【解析】

（1）先得出∠ABD=∠CBD，进而得出OD⊥DF，即可得出结论；

（2）连接DC，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBD，进而解答即可．

（1）证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD．

∵DE∥AB，

∴∠ABD=∠BDE．

∴∠CBD=∠BDE．

∵ED=EF，

∴∠EDF=∠EFD．

∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，

∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°．

∴OD⊥DF．

∵OD是半径，

∴DF是⊙O的切线．

（2）【解析】
连接DC，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD=∠BCD=90°．

∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，

∴△ABD≌△CBD．

∴CD=AD=4，AB=BC．

∵DE=5，

∴CE＝＝3，EF=DE=5．

∵∠CBD=∠BDE，

∴BE=DE=5．

∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8．

∴AB=8．

∵DE∥AB，

∴△ABF∽△MEF．

∴．

∴ME=4．

∴DM=DE-EM=1．