Question

如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．

(1)求证：四边形AOCP是平行四边形；

(2)填空：①当∠ABP＝      时，四边形AOCP是菱形；

②连接BP，当∠ABP＝      时，PC是⊙O的切线．

Answer

(1)证明见解析；(2)①30°；②45°.

【解析】

（1）先判断出四边形OBCP是平行四边形，得出OB=PC，OB∥PC，再判断出OA=PC，从而得出结论；

（2）根据圆周角定理得到∠AOP=60°，推出△AOP是等边三角形，得到AP=AO，于是得到四边形AOCP是菱形；由圆周角定理得到∠AOP=90°，根据平行线的性质得到∠OPC=∠AOP=90°，于是得到结论．

（1）∵点M是OP中点，

∴AM=CM，

∵AO=BO，

∴OM∥BC，

∴OP∥BC，

∵PC∥AB，

∴四边形OBCP是平行四边形；

（2）当∠ABP=30度时，四边形AOCP是菱形；

理由：∵∠ABP=30°，

∴∠AOP=60°，

∵AO=PO，

∴△AOP是等边三角形，

∴AP=AO，

∴四边形AOCP是菱形；

当∠ABP=45度时，PC是⊙O的切线；

理由：∵∠ABP=45°，

∴∠AOP=90°，

∵AO∥PC，

∴∠OPC=∠AOP=90°，

∴PC是⊙O的切线．