Question

如图1，在正方形ABCD中，AD=6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA,PC，过点P作PE⊥PC交直线AB于点E.

（1）求证： PC=PE；

（2）延长AP交直线CD于点F.

①如图2，若点F是CD的中点，求△APE的面积；

②若△APE的面积是，则DF的长为_________；

（3）如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M，作点E关于BD的对称点Q，连接PQ， MQ，过点P作交EC于点N，连接，若，则的面积是________.

Answer

（1）略；（2）①8，②4或9；（3）

【解析】

（1）利用正方形每个角都是90°，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;

（2）作出△ADP和△DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到△PAE的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;

（3）根据已经条件证出△MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.

(1) 证明：∵点P在对角线BD上，

∴△ADP≌△CDP,

∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,

∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°,

∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC,

∵∠PAE=90°-∠DAP＝90°-∠DCP,

∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°,

∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°)= 135°-∠BPC,

∴∠PEA=∠PAE,

∴PC=PE;

（2）①如图2，过点P分别作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分别为H、G.延长GP交AB于点M.

∵四边形ABCD是正方形，P在对角线上，

∴四边形HPGD是正方形，

∴PH=PG,PM⊥AB,

设PH=PG=a,

∵F是CD中点，AD＝6，则FD=3,=9,

∵==,

∴,解得a=2,

∴AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,

又∵PA=PE,

∴AM=EM,AE=4,

∵=,

②设HP＝b,由①可得AE=2b,MP=6-b,

∴=,

解得b=2.4,

∵==,

∴,

∴当b=2.4时，DF=4；当b＝3.6时，DF＝9,

即DF的长为4或9;

（3）如图，

∵E、Q关于BP对称，PN∥CD,

∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45°,

∴∠1+∠4=45°,

∴∠3=∠4,

易证△PEM≌△PQM, △PNQ≌△PNC,

∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,

∴∠6+∠7=90°,

∴△MNQ是直角三角形,

设EM=a,NC=b列方程组

,

可得ab=,

∴,