Question

如图1，抛物线与x轴，y轴的正半轴分别交于点和点，与x轴负半轴交于点A，动点M从点A出发沿折线向终点B匀速运动，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图2，当点N在线段上时，求证：；

（3）当点N在线段上时，直接写出此时直线与抛物线交点的纵坐标；

（4）设的长度为n，直接写出在点M移动的过程中，的取值范围.

Answer

（1）；（2）略；（3）0或4或；（4）

【解析】

（1）运用待定系数法，把代入解析式，求出a和c，即可得出函数解析式.

（2）易知△MON是等边三角形，当点N在AC上时，证△AMO≌△CNO即可得到AM=CN.

(3)当N在BC上时，易得MN⊥OC,由30度角的直角三角形的性质，运用勾股定理列方程求解即可.

（4）求最值问题，先找出点M、N的运动轨迹，确定其在什么位置时有最值.再利用数形结合求解.

（1）将B(4,0),C(0,4)代入y=a+c得:

,

∴.

(2)由已知可得A（-4，0），

∴AO=CO=4,

∠MAO=∠NCO=45°,

由旋转可知OM=ON，又∵∠NOM=60°,

∴△MON是等边三角形，∠NMO=∠MNO =60°,

∴∠AMO=∠CNO,

∴△AOM≌△CON,

∴AM=CN;

(3)当N在BC上时，分两种情况：

① M在AC上，如图所示:此时MN∥x轴，与y轴交于点D，过点N作NE⊥OB交OB于点E.可设N（a,4-a）,

∵△MON为等边三角形,

∴ND=a, OD=4-a,ON=2a,

由勾股定理可得+=,

解得-2, -2(不合题意，舍去),

∴OD=4-a＝6-,

∴MN与抛物线图象交点的纵坐标是6-;

② M在BC上，如图所示，

此时MN所在直线与抛物线交于点B、C.

∴MN与抛物线图象交点的纵坐标是0或4.

综上，直线MN与抛物线图象交点的纵坐标是0或4或6-

(4)作等边△AOD、等边△OCE,

△AOM绕点O旋转60°与△ODN重合得∠CAO＝∠EDO＝45°,

当M在AC上时，点N的轨迹是经过D且与OD成45°的一条线段DE.

∴的最大值为＝+＝48.

同理，当M在BC上时，N的轨迹为线段EF.

的最小值为B到EF的距离BP.

∵△OEF为等腰直角三角形，∴OH＝2,

由E（），F(2, )可得直线解析式y=(2+)x-(4+),

可得G（-4，0），∴OG=-4,BG=8-,

由△BPG∽△OGH可得=,

得BP= 此时＝=8-,

∴8-≤48.