Question

(1)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG=45°，那么EG与图中两条线段的和相等？证明你的结论.

(2)请用(1)中所积累的经验和知识完成此题，如图，在四边形ABCG中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的长?

Answer

（1）EG=BE+DG；（2）EG=10.

【解析】

（1）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据正方形的性质，可直接证明△EBC≌△FDC，从而得出∠BCE=∠DCF，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案EG=BE+DE；

(2)过C作CD⊥AG，交AG延长线于D．则四边形ABCD是正方形，设EG=x，则AE=8，根据（1）可得：AG=16-x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解.

（1）【解析】
EG=BE+DE

如图（1）如图，延长AD在AD上截取DF=BE，连接CF

∵正方形ABCD

∴BC=DC，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°

∵∠CDF=180°-∠ADC

∴∠CDF=90°

∴∠ABC=∠CDF

∵BE=DF

∴△EBC≌△FDC

∴∠BCE=∠DCF，EC=FC

∵∠ECG=45°

∴∠BCE+∠GCD=90°-∠ECG=90°-45°=45°

∴∠GCD+∠DCF=∠FCG=45°

∴∠ECG=∠FCG

∵GC=GC, EC=FC

∴△ECG≌△FCG

∴EG=GF

∵GF=GD+DF=GD+BE

∴EG=GD+BE

（2）如图3，过C作CD⊥AG，交AG延长线于D，

在直角梯形ABCD中，
∵AG∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CDA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AD=AB=BC=12．
已知∠ECG=45°，根据（1）可知，EG=BE+DG，
设EG=x，则AG=AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x，
∴AE=12-BE=8．
在Rt△AED中
∵EG2=AG2+AE2，即x2=（16-x）2+82
解得：x=10．
∴EG=10．