Question

如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点.

（1）求的度数；

（2）求证：四边形是菱形.

Answer

（1）30°；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由直径AB的长，求出半径OA及OC的长，再由AC的长，得到三角形OAC三边相等，可得此三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC=60°，再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可得出∠AEC的度数；
（2）由直线l与圆O相切，根据切线的性质得到OC与直线l垂直，又BD与直线l垂直，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行得到BE与OC平行，根据两直线平行同位角相等，可得出∠B=∠AOC=60°，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠AED为直角，用∠AED-∠AEC求出∠DEC=60°，可得出一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行，可得出EC与OB平行，根据两组对边平行的四边形为平行四边形可得出四边形OBEC为平行四边形，再由半径OC=OB，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出OBEC为菱形．

（1）∵OA=OC=AB=2，AC=2，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC都对弧，
∴∠AEC=∠AOC=30°；
（2）∵直线l切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠B=∠AOC=60°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB=90°，又∠AEC=30°，
∴∠DEC=90°-∠AEC=60°，
∴∠B=∠DEC，
∴CE∥OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又OB=OC，
∴四边形OBEC为菱形．