Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB＝5，sin∠BAD＝，求AD的长；

（3）试探究FB、FD、FA之间的关系，并证明．

Answer

（1）见解析；（2）；（3），见解析.

【解析】

（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．

（2）运用三角函数解直角三角形，并用勾股定理求出AD.
（3）利用已知条件证得△ABF∽△BDF，就可以得出三条线段F之间的关系．

【解析】
(1)证明：连结.

∵是的直径

∴

∴

∵ ∴

∵∴

∴,即

∴

∴直线是的切线.

（2）连接，则为直角三角形.

∴ ∴

由勾股定理可得;

（3）

证明：∵

∴

∴

∴