Question

正方形中，E是边上一点，

（1）将绕点A按顺时针方向旋转，使重合，得到，如图1所示.观察可知：与相等的线段是_______，______.

（2）如图2，正方形中，分别是边上的点，且，试通过旋转的方式说明：

（3）在（2）题中，连接分别交于，你还能用旋转的思想说明.

Answer

（1）BF，AED；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题(1)、直接根据旋转的性质得到DE=BF，∠AFB=∠AED；(2)、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，根据旋转的性质得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°，则∠PAE=45°，再根据全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，则PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ；

(3)、根据正方形的性质有∠ABD=∠ADB=45°，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，根据旋转的性质得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK，由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK为直角三角形，根据勾股定理得BK2+BM2=MK2，然后利用等相等代换即可得到BM2+DN2=MN2．

试题解析：(1)、∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，

∵DE=BF，∠AFB=∠AED．

(2)、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，

则∠D=∠ABE=90°， 即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ， ∵∠PAQ=45°，

∴∠PAE=45° ∴∠PAQ=∠PAE， ∴△APE≌△APQ（SAS）， ∴PE=PQ，

而PE=PB+BE=PB+DQ， ∴DQ+BP=PQ；

(3)、∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD=∠ADB=45°，

如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，

则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN， 与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN=MK，

∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°， ∴△BMK为直角三角形， ∴BK2+BM2=MK2， ∴BM2+DN2=MN2．