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在平面直角坐标系中,直线分别与x轴,y轴交于点,点C是第一象限内的一点,且,抛物...

在平面直角坐标系中,直线分别与x轴,y轴交于点,点C是第一象限内的一点,且,抛物线经过两点,与x轴的另一交点为D.

1)求此抛物线的解析式;

2)判断直线的位置关系,并证明你的结论;

3)点Mx轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.

 

(1)二次函数的解析式为;(2)点N的坐标分别为(,1),(,1),(,-1),(-1). 【解析】 试题(1)求得点C的坐标,应用待定系数法即可求得抛物线的解析式. (2)根据勾股定理求出AC,CD,AD的长,从而根据勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形,∠ACD=90°,由∠BAC=90°,得出AB∥CD. (3)由题意可知,要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形,只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等.据此列出方程求解即可. (1)由题意可求点A(2,0),点B(0,1). 过点C作CE⊥x轴,易证△AOB≌△ECA. ∴ OA=CE=2,OB=AE=1. ∴ 点C的坐标为(3,2). 将点A(2,0),点C(3,2)代入, 得,,解得. ∴二次函数的解析式为. (2)AB∥CD.证明如下: 令,解得. ∴ D点坐标为(7,0). 可求. ∴△ACD为直角三角形,∠ACD=90°. 又∵∠BAC=90°, ∴ AB∥CD. (3)如图,由题意可知,要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形,只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等. ∵ B点坐标为(0,1), ∴ 点N到x轴的距离等于1. 可得和. 解这两个方程得. ∴点N的坐标分别为(,1),(,1),(,-1),(,-1).
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考点分析:
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现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱,某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理,绘制了如下的统计图表(不完整):

步数

频数

频率

0≤x<4000

8

a

4000≤x<8000

15

0.3

8000≤x<12000

12

b

12000≤x<16000

c

0.2

16000≤x<20000

3

0.06

20000≤x<24000

d

0.04

 

请根据以上信息,解答下列问题:

(1)写出a,b,c,d的值并补全频数分布直方图;

(2)本市约有37800名教师,用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步(包含12000步)的教师有多少名?

(3)若在50名被调查的教师中,选取日行走步数超过16000步(包含16000步的两名教师与大家分享心得,求被选取的两名教师恰好都在20000步(包含20000步)以上的概率.

 

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