Question

在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，点C是第一象限内的一点，且，抛物线经过两点，与x轴的另一交点为D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）二次函数的解析式为；（2）点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（-1）．

【解析】

试题（1）求得点C的坐标，应用待定系数法即可求得抛物线的解析式．

（2）根据勾股定理求出AC，CD，AD的长，从而根据勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，由∠BAC=90°，得出AB∥CD．

（3）由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．据此列出方程求解即可．

（1）由题意可求点A(2，0)，点B（0,1）．

过点C作CE⊥x轴，易证△AOB≌△ECA．

∴ OA=CE=2，OB=AE=1．

∴ 点C的坐标为（3,2）．

将点A(2，0)，点C(3，2)代入，

得，，解得．

∴二次函数的解析式为．

（2）AB∥CD．证明如下：

令，解得．

∴ D点坐标为（7,0）．

可求．

∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．

又∵∠BAC=90°，

∴ AB∥CD．

（3）如图，由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．

∵ B点坐标为（0,1），

∴ 点N到x轴的距离等于1．

可得和．

解这两个方程得．

∴点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（，-1）．