Question

如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．

（1）如图，求∠QEP的度数；

（2）如图，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．

Answer

（1）60°，理由见解析；（2）BQ＝2﹣2．

【解析】

（1）先证明出△CQB≌△CPA，即可得出∠QEP=60°；

（2）作CH⊥AD于H，如图2，证明△ACP≌△BCQ，则AP=BQ，由∠DAC=135°，∠ACP=15°，得出AH=3，CH=3，即可得出PH=CH=3，即可得出结论．

（1）如图1，∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，则△CQB和△CPA中， ，∴△CQB≌△CPA（SAS），

∴∠CQB＝∠CPA，又因为△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ， ∴∠QEP＝∠QCP＝60°．

（2）作CH⊥AD于H，如图2，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ，

∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，∴△ACH为等腰直角三角形，

∴AH＝CH＝AC＝×4＝2 ，在Rt△PHC中，PH＝CH＝2，∴PA＝PH﹣AH＝2﹣2，

∴BQ＝2﹣2．